Séance du 09/09/2016 :
- Mise en place : Informations générales ;
Modalités d'examens ; Divers liens ...
- Norme ; Espace normé ; Exemples ;
- Distance ; Espace métrique ; Boules ouvertes et fermées ; Exemples ;
- Notion de topologie via la famille des ouverts.
Séance du 16/09/2016 :
- Topologie induite par une métrique ;
- Notion de fermé ;
- Notion de de voisinage ;
- Base d'ouverts ;
- Notion de sous-espace topologique ;
- Adhérence d'une partie.
Séance du 23/09/2016 :
- Intérieur d'une partie ;
- Frontière d'une partie ;
- Limite d'une suite ;
- Espace topologique séparé ;
- Continuité en un point ;
- Continuité globale.
-
Séance du 30/09/2016 :
- QCM1 ;
- Homéomorphismes ;
- Uniforme continuité ; application lipschitzienne ;
isométrie ;
- Prolongement par continuité.
Séance du 07/10/2016 :
- Comparaison de topologies et de distances ;
- Topologie produit (définition) ;
- Topologie produit et continuité ;
- Produit d'espaces métriques ;
Séance du 14/10/2016 :
- Topologie produit (fin) et convergence simple ;
- Topologie quotient ;
- Connexité.
Séance du 21/10/2016 :
- Controle continu (1h) ;
- Compacité :
- - Borel-Lebesgue ;
- - Bolzano-Weierstrass ;
Séance du 04/11/2016 :
- Propriétés des compacts ;
- Union et intersection de compacts ;
- Produits de compacts (Tychonoff) ;
- Fonctions continues et compacts ;
- Compacité et conséquences dans les evns :
- Cas de la dimension finie ;
- Cas de la dimension infinie (Riesz).
Séance du 18/11/2016 :
- QCM2 ;
- Espaces vectoriels normés : Généralités, Exemples ;
- Applications linéaires et bilinéaires continues.
- Algèbres normées.
Séance du 25/11/2016 :
- Espaces métriques complets :
- Suite de Cauchy ;
- Propriétés des espaces complets ;
- Espaces de Banach (définition).
Séance du 02/12/2016 :
- Espaces de Banach (propriétés) ;
- Applications de la complétude :
- - prolongement,
- - point fixe, exercice 127 en illustration,
- - complété.
Séance du 09/12/2016 :
- Propriétés des espaces de fonctions continues :
- Stone-Weierstrass (exercice) et Ascoli.