Précisions sur l'optimisation des paramètres
Adaptons l'analyse précédemment menée pour la méthode du point milieu, mais sur $[h,1]$ seulement (le pas d'intégration est alors $(1-h)/n$.
L'erreur de quadrature pour l'approximation de la somme des $n$ termes s'écrit:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\left\vert\sum_{i=0}^{n-1} \left(\int_{x_i}^{x_{i+1}}\dfrac{f(x)}{x^{8/9}}\mathrm{d}x-\dfrac{1-h}{n}\dfrac{f(x_{i+1/2})}{x_{i+1/2}^{8/9}}\right)\right\vert
&\leq \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{(1-h)^3}{24 n^3}\|\alpha\|_{\infty}\dfrac{1}{\xi_i^{26/9}},\quad \textrm{où } \xi_i\in[x_i,x_{i+1}],\\
&\leq \dfrac{\|\alpha\|_\infty}{24 n^3} \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{1}{x_i^{26/9}}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Quelle que soit la valeur de $h\in]0,1[$ et de $n\in\mathbb{N}^\star$, la série partielle qui intervient prend aussi la forme
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{1}{\left(h+\tfrac{i(1-h)}{n}\right)^{26/9}} = \dfrac{1}{h^{26/9}} \sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\tfrac{i}{n}\tfrac{1-h}{h}} \leq \dfrac{n}{h^{26/9}}.
\end{equation*}
L'erreur pour les termes considérés est donc majorée par une quantité de la forme
\begin{equation*}
\dfrac{C_1}{n^2h^{26/9}},
\end{equation*}
où $C_1>0$ est une constante indépendante de $h$ et de $n$.
Concernant l'intégration gaussienne sur $[0,h]$, l'erreur commise est liée aux premiers termes non-nuls du développement de Taylor du numérateur $f(x)=e^{\sin(x)}$ en $h/10$: $f(x) = P_1(x) + \tfrac{1}{2}(x-h/10)^2 \phi(x)$ avec $P_1(x)=f(h/10)+(x-h/10)f'(h/10)$ et $\phi$ régulière.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\int_0^h \dfrac{f(x)}{x^{8/9}}\mathrm{d}x - 9h^{1/9} f\left(\dfrac{h}{10}\right) =
\int_0^h \dfrac{P_1(x)}{x^{8/9}}\mathrm{d}x - 9h^{1/9} P_1\left(\dfrac{h}{10}\right) +
\int_0^h \dfrac{\tfrac{1}{2}(x-h/10)^2\phi(x)}{x^{8/9}}\mathrm{d}x
\end{aligned}
\end{equation*}
La formule étant exacte pour les polynômes de degré 1, la première différence du second membre est nulle. Le terme restant se majore (en valeur absolue) par:
\begin{equation*}
\dfrac{\|\phi\|_\infty}{2}\int_0^1 \dfrac{(hy-h/10)^2}{(hy)^{8/9}}hdy = \dfrac{\|\phi\|_\infty}{2}h^{19/9}\int_0^1 \dfrac{(y-1/10)^2}{(y)^{8/9}}dy.
\end{equation*}
Il existe donc une constante $C_2$ indépendante de $h$ et de $n$ telle que l'erreur sur cette quadrature soit majorée par une quantité de la forme
\begin{equation*}
C_2h^{19/9}.
\end{equation*}
Les deux majorations précédemment obtenues permettent de dégager un régime "optimal à la limite" pour choisir $h$ en fonction de $n$. Supposant que les majorations sont optimales (au sens où l'erreur est équivalente à son majorant, ce qui n'a pas été prouvé) l'erreur globale se comporte comme
\begin{equation*}
\dfrac{C_1}{n^2h^{26/9}}+C_2h^{19/9}.
\end{equation*}
L'expérience numérique confirme ce comportement, on effectue l'analyse de convergence pour différentes valeurs de $h$, de sorte à "séparer" le comportement des deux termes. On observe la saturation de l'erreur sur une quantité qui n'est autre que l'erreur de la quadrature gaussienne. On peut ensuite tracer en fonction de $h$ cette valeur et vérifier sa convergence vers 0 comme $h^{19/9}$.
Pour minimiser l'erreur globale on peut choisir $h$ en fonction de $n$ de sorte que les deux erreurs soient du même ordre :
\begin{equation*}
\dfrac{C_1}{n^2h^{26/9}} \sim C_2h^{19/9}
\end{equation*}
En réalité, les constantes sont importantes car elles définissent une constante $C$ telle que le choix optimal ait la forme
\begin{equation*}
h = \dfrac{C}{n^{2/5}},
\end{equation*}
et l'erreur se comporte comme finalement
\begin{equation*}
\dfrac{\tilde{C}}{n^{4/5}}.
\end{equation*}
