Michel GROS

IRMAR
Campus de Beaulieu
Université Rennes 1
35042 Rennes Cedex
France


Equipe de géométrie algébrique
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Domaines d' intérêts (Research interests) 


Mes sujets d' intérêts de ces dernières années sont, en résumé, les relations qui unissent la théorie des représentations à la théorie des D - modules. Ces relations sont bien établies sur R ou C mais des analogues commencent seulement à être précisés  en caractéristique positive. Je me suis intéressé aux deux situations particulières suivantes qui, si elles peuvent regroupées sous la rubrique ci-dessus,  couvrent des domaines et mettent en oeuvre des outils tout à fait différents.

1.  La (Les) cohomologie(s) des variétés semi-stables sur un anneau d' entiers d' un corps p - adique fournit des représentations galoisiennes qui, grâce à la théorie initiée par Fontaine, s' étudient en considérant des structures semi-linéaires (c' est le passage de la cohomologie étale à la cohomologie log-cristalline). Quel peut-être l' apport de  la théorie des D - modules (arithmétiques) dans ce domaine ? Par exemple  : la cohomologie log-cristalline munie de ses structures additionnelles s' interprête-t-elle comme cohomologie de de Rham d' un D - module convenable (lié à une théorie de la V - filtration et du polynôme de Bernstein-Sato) ?  Plus généralement, je m'intéresse à tout ce qui à trait à l'interface entre D-modules et représentations galoisiennes.

2.  Aspects de la correspondance de Langlands géométrique : je me suis intéressé pour l' instant à la question de savoir si l' on pouvait  décrire les sections globales du faisceau des opérateurs difféentiels sur des espaces classifiants de  G-fibrés (essentiellement pour G le groupe multiplicatif ou SL2). Plus généralement, je m'intéresse à tout ce qui a trait aux liens entre D-modules et représentations de groupes réductifs en caractéristique positive (propriétés d'Azumaya de D,...).


Prépublications  (Preprints)





A Simpson correspondence in positive characteristic

(with Bernard Le Stum and Adolfo Quiros)

Abstract : Let p   a prime number and k a perfect field of characteristic p. We study the Azumaya properties of the sheaf of differential operators of level m on a smooth k-scheme X as well as explicit splitting of the completion of them. We deduce from this a "Simpson correspondance" (involving "Higgs bundles"). We also establish the compatibility with works of Berthelot, Ogus-Vologodsky, van der Put,...  


 

Un scindage de l' application de Frobenius sur toute l' algèbre des distributions de SL(2)


 Abstract : Let p > 2 a prime number. We prove the existence of a splitting   of the Frobenius morphism for the algebra of distribution of the SL(2) which is compatible with the one defined by Garnier in his work on explicit Frobenius descent for D-modules.  


Opérateurs différentiels globaux sur  les courbes elliptiques

Abstract :  In this article, we give a conjecture supported by explicit computations about the relation between conformal blocks of the entire form of the Heisenberg algebra and  global sections of the sheaf of (arithmetic) differential operators  on an elliptic curve over a field of characteristic p > 0.

Une version plus récente  contenant quelques calculs supplémentaires pour les courbes de genre 2 (basée sur la description de Mumford) sera bientôt  disponible. Une approche plus générale mais moins précise, allant dans le même sens, est dégagée dans le preprint suivant.



Travaux en cours   (Preprint and works in progress)




Puissances divisées des opérateurs différentiels de Lax et algèbre d' Heisenberg entière

Abstract : In this article, we use the description of the complement of the Theta divisor of the jacobian of a relative curve given by Beauville and the description of the invariant differential operators on this Jacobian. We formulate a conjecture (supported by examples) on the iterates of Lax operators in the same spirit than the one given for elliptic curves (ie. involving some expression arising in the theory of entire form of Heisenberg algebra).


 
Modules filtrés et dilogarithme p-adique tordu

Abstract : In this article, we explain the construction of some Polylogarithm crystal (a p-adic analog of Beilinson-Deligne construction). We discuss a possible way to interpret some related construction in a tannakian framework and deduce from this functional equations. We check two of them by independant methods.

 

Liste de publications (List of publications) 


1. Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie de
Hodge-Witt logarithmique. Mémoire de la SMF
n.  21 (1985).
 
2.  Sur la partie  p - primaire du groupe de Chow de codimension
deux. Communications in Algebra, 13 (11), p. 2407-2420 (1985).
 
3.  Quelques résultats sur l'homologie cyclique des algèbres
en caractéristique positive. Note aux CRASP, t. 304, Série I, n
5,  p. 139-142, (1987).
 
4. 0-cycles de degré 0 sur les surfaces fibrées en
coniques.  Journal für die Reine und Angewandte Math., Band 373, p. 166-184,
(1986).

5. La conjecture de Gersten pour les faisceaux de Hodge-Witt
logarithmique (en collaboration avec N. Suwa). Duke Math. Journ.,
vol. 57 n. 2, p. 615-628, (1988).
 
6. Application d'Abel-Jacobi  p - adique et cycles algébriques
(en collaboration avec N. Suwa). Duke Math. Journ., vol. 57 n. 2,
p. 579-613, (1988).

 7. Régulateurs syntomiques et valeurs de fonctions  L
p - adiques I (avec un appendice par Masato Kurihara). Inv. Math.
99, 293-320 (1990).
 
8. Régulateurs syntomiques et valeurs de fonctions  L
p - adiques II. Inv. Math. 115, 61-79 (1994).

9.   Sur les (K0, \varphi, N)-structures attachées aux
courbes de Mumford
 
et son appendice

10. "Monodromie
archimédienne" d'une courbe complexe". Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 103,
233-249 et 251-260 (2000).

11.   Cohomologie évanescente  p - adique : calculs locaux (en collaboration
avec L. Narvaez-Macarro). Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 104,
71-90 (2000).

12.   Caractères des groupes réductifs finis et D - modules. Rend. Sem.
Mat. Univ. Padova, vol. 106, 1-19 (2001).  

13.  Sur le D - module associé au complexe des cycles proches et ses variantes p - adiques. Rend. Sem.
Univ. Padova, vol. 112 p. 77-95 (2004).


Dernière intervention sur cette page  : le  jeudi  12 février   2009.