Les références renvoient à la liste des travaux.
J'ai travaillé en collaboration avec J. Ruiz (Madrid) et M. Shiota (Nagoya) sur les propriétés globales des fonctions de Nash (ou analytiques-algébriques réelles). Ces fonctions interviennent en géométrie algébrique réelle, souvent comme un intermédiaire entre les catégories C€ et algébriques (c'est ce rôle qu'elles jouent dans l'article fondateur de J. Nash). Un problème global typique est celui de la séparation : en gros, le problème est de savoir si un sous-ensemble globalement Nash-irréductible d'une variété de Nash M est analytiquement irréductible. Le problème local correspondant est une conséquence facile du théorème d'approximation d'Artin. Nous avons pu donner une réponse positive au problème de séparation (dans le cas M compact [95b]) grâce à l'approximation des morphismes réguliers, un résultat important d'algèbre commutative dont M. Spivakovsky et M. André ont donné des démonstrations complètes il y a quelques années.
La difficulté dans le passage des propriétés locales aux propriétés globales est due au fait que les fonctions de Nash n'ont pas de bonnes propriétés cohomologiques. Mais, à partir de la propriété de séparation, on peut obtenir des sortes de remplaçants des propriétés cohomologiques manquantes (équations globales pour le théorème A, extension pour le théorème B) [96].
L'extension des résultats globaux du cas compact au cas non compact n'est pas immédiate [00]. Elle utilise en particulier des résultats de trivialisation de classe Nash (voir 3). Les résultats du cas non compact peuvent à leur tour être utilisés (avec aussi des travaux de la thèse de mon étudiant R. Quarez) pour résoudre des questions concernant le faisceau de fonctions de Nash abstraites sur le spectre réel d'un anneau (version réelle du topos étale d'un schéma - voir 5) [01b].
Un article de synthèse reprend l'ensemble des résultats obtenus [P02a].
Le problème ici est de caractériser les espaces homéomorphes à un ensemble algébrique réel. Je me suis intéressé aux propriétés topologiques combinatoires des chaînes d'inclusions d'ensembles algébriques réels [85] [90]. Le principal résultat, obtenu avec K. Kurdyka [92c], est l'invariance générique modulo 4 de la caractéristique d'Euler-Poincaré de l'entrelacs le long d'un sous-ensemble algébrique irréductible. Nous nous sommes aussi intéressé à la variation de la caractéristique d'Euler des fibres d'un morphisme régulier, montrant qu'elle est génériquement déterminée modulo 4 par le signe d'un discriminant [98a]. Ceci est en rapport avec la notion de fonction algébriquement constructible introduite par C. McCrory et A. Parusinski, qui se révèle un outil très utile pour l'étude de la topologie des ensembles algébriques réels singuliers. J'ai encadré les thèses récentes de H. Pennanneac'h (entièrement) et I. Bonnard (partiellement) sur ce sujet.
Le travail le plus important dans ce domaine a été fait avec M. Shiota [92a] [95a]. Nous construisons des trivialisations de classe Nash (par exemple pour une fonction de Nash propre et submersive MÆ R). Tout le problème est de construire ces trivialisations sans intégrer de champ de vecteur, ce qui ferait sortir de la catégorie. Ce résultat est utilisé pour obtenir des versions semi-algébriques et effectives du 1er lemme d'isotopie de Thom (depuis M. Shiota a obtenu ce type de résultats pour le 2e lemme d'isotopie).
La construction de trivialisations de classe Nash dans [92a] est présentée en terme de spectre réel et de fibres d'une famille en un point du spectre réel. Cette méthode m'a servi pour obtenir d'autres résultats sur les familles semi-algébriques. Par exemple, un résultat de triangulation lipschitzienne en famille qui peut servir pour les propriétés métriques des semi-algébriques dans [92d], (qui contient aussi l'existence de modules pour l'équivalence semi-algébrique des fonctions semi-algébriques du plan dans le plan). L'extension de cette technique aux structures o-minimales m'a permis de montrer la finitude du nombre de types topologiques de polynômes réels dont le nombre de monômes est borné (il y a un résultat de Fukuda pour le degré borné) [98b]. La construction de trivialisations Cr définissables dans une structure o-minimale a fait l'objet de la thèse de J. Escribano que j'ai co-dirigée.
J'ai donné une démonstration (utilisant des infinitésimaux liés au spectre réel) un résultat annoncé par Hironaka sur les perturbations non singulières d'hypersurfaces algébriques réelles [92e]. J'ai travaillé en géométrie semialgébrique, y compris en ce qui concerne ses aspects algorithmiques (notamment [88] avec M-F. Roy, qui introduit le codage à la Thom des racines réelles). Les méthodes semi-algébriques sont aussi utilisées dans un travail avec M.J. de la Puente sur les bifurcations à l'infini des polynômes réels de deux variables [01a].
J'ai rédigé, avec J. Bochnak et M-F. Roy, le premier ouvrage de synthèse de géométrie algébrique réelle (livre [B87]). Il contient quelques résultats originaux non publiés ailleurs. Une édition révisée et augmenté a été publiée en langue anglaise [B98].
Le début de mes travaux en géométrie algébrique réelle a été le développement, avec M-F. Roy, de la théorie du spectre réel ([79b], [80b], [81b], [81c], [82a], [83]). Le spectre réel est devenu un outil fondamental de la géométrie réelle, utilisé par de nombreux chercheurs. Le spectre réel englobe à la fois l'espace des points réels d'une variété définie sur R (avec la topologie euclidienne) et l'espace des ordres d'un corps formellement réel. Il fournit un moyen commode de traduction entre propriétés algébriques et propriétés géométriques et topologiques réelles. Son introduction s'est faite à partir de considérations de logique catégorique : le spectre réel Specr(A), muni de son faisceau de fonctions de Nash abstraites, est un analogue réel du topos étale du schéma Spec(A), muni de son faisceau structural.
Mes premiers travaux, sous la direction de J. Bénabou, ont porté sur les rapports entre logique et topos, et en particulier dans ma thèse sur le concept général de spectre ([79a] [79c] [80a] [81a]). Ce sont ces considérations qui m'ont amené ensuite à travailler sur le spectre réel. Quelques aspects de la logique des topos se retrouvent dans un travail avec H. Lombardi et M-F. Roy sur l'effectivité en algèbre : une topologie de Grothendieck construite syntaxiquement à partir d'une théorie d'un certain type se retrouve derrière la notion de preuve dynamique [01c].