Francoise Dal'BoIRMAR
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Exposition de mes travaux.
La principale motivation de mes recherches est l'étude ergodique et topologique de systèmes dynamiques naturellement associés à des quotients de variétés riemanniennes simplement connexes, complètes, de courbure négative, X, par des sous-groupes discrets G d'isométries. La plupart de mes résultats mettent en jeu le spectre des longueurs des géodésiques fermées de G/X. Parmi ces variétés, je distingue les variétés hyperboliques dont la courbure est uniformément majorée par une constante strictement négative, leurs produits et les espaces symétriques de rang >1. Les systèmes que je considère sont très étudiés lorsque la variété G/X est compacte, ils le sont moins sans cette hypothèse de compacité. C'est dans ce dernier cas que je me place, en privilégiant les quotients de X par les groupes de Schottky, qui eux sont de volume infini.
Dans la suite de ce texte, je présente une synthèse de mes travaux depuis l'an 2000 .
Flot géodésique et feuilletage fortement stable
La variété X est ici hyperbolique et G est un groupe discret d'isométries sans torsion, non élémentaire.
Topologie et spectre des longueurs
Soit h une isométrie de G, on note l(h) la borne inférieure sur X des d(x,h(x)). Si l(h) n'est pas nul, h fixe une unique géodésique sur laquelle h agit par translation de longueur l(h). L'ensemble de ces isométries, modulo conjugaison dans G, est en correspondance avec les orbites périodiques du flot géodésique gt sur T1 (G/X). Les réels l(h) correspondent, eux, aux périodes de ces orbites. Le théorème suivant relie le spectre des longueurs à la dynamique de gt et à celle de son feuilletage fortement stable fs.
Théorème [7]– Les propriétés suivantes sont équivalentes :
Le spectre des longueurs engendre un sous-groupe dense des réels
gt en restriction à son ensemble non errant Rg est topologiquement mélangeant
fs en restriction à son ensemble non errant Rf est topologiquement transitif.
Il reste à savoir si ces propriétés sont satisfaites.
Théorème [9]– Les propriétés 1), 2), 3) du théorème précédent sont satisfaites si l'une des conditions est vérifiée :
DimX = 2
X est un espace symétrique
G contient une isométrie parabolique
L'ensemble limite de G est connexe.
Question – Si G est un groupe de Schottky, les propriétés 1), 2), 3) sont-elles satisfaites ?
Une réponse positive dans ce cas-là entraînerait une réponse positive dans tous les cas.
Parmi les groupes G on distingue les groupes géométriquement finis pour lesquels Rg admet un e-voisinage de volume fini. La finitude géométrique de G bien que définie à partir du flot géodésique se lit sur la topologie des feuilles de fs . En dimension 2 cette lecture est particulièrement simple.
Théorème [7]– Si dimX = 2, alors G est géométriquement fini si et seulement si les feuilles de fs en restriction à Rf sont denses ou périodiques.
Ce théorème montre que si G est géométriquement fini, Rf contient des fermés invariants par le feuilletage et minimaux.
L'étude des minimaux se pose également pour le flot géodésique mais d'une autre faﾍon car Rg admet toujours des compacts minimaux non triviaux.
Théorème [2]– Si X est le demi-plan de Poincaré et si G contient une isométrie parabolique il existe dans Rg des fermés invariants par gt non compacts, non triviaux et minimaux.
Mesures invariantes par le flot géodésique
La courbure de X est supposée ici pincée. Chercher des mesures invariantes par gt sur Rg revient à chercher des mesures invariantes par G et par les translations sur LxLxR où L est l'ensemble limite de G et R est le corps des réels. L'hypothèse sur la courbure entraîne que l'exposant critique, noté D(G), de la série de Poincaré associée à G, est strictement positif et fini, ce qui garantit l'existence de mesures conformes sur L, connues sous le nom de mesures de Patterson-Sullivan. Par un procédé classique on construit à partir de ces mesures une mesure M sur Rg invariante par le flot géodésique dont la finitude est reliée à la géométrie des isométries paraboliques.
Théorème [8]– On suppose que la série de Poincaré de G diverge en D(G) et que G contient des isométries paraboliques.
Dans ce cas, la mesure M est finie si et seulement si pour tous sous groupes paraboliques P de G la série sur P de terme général d(o,p(o)) exp (-D(G) d(o,p(o))) converge.
Ce théorème met en valeur la complexité des isométries paraboliques. On montre en dimension 2 que la longueur des horocycles fermés de G/X s'exprime en fonction de la courbure. Cette remarque permet de construire des exemples pour lesquels, de faﾍon inattendue, le groupe G est géométriquement fini et la mesure M est infinie.
Théorème [8]– Il existe des variétés X et des groupes géométriquement finis G donnant lieu à des mesures M infinies.
Des géodésiques, des horocycles et des approximations Diophantiennes
La variété X est le demi-plan de Poincaré et G est un groupe Fuchsien non élémentaire géométriquement fini contenant une translation non triviale. Puisque L est minimal, pour tout x dans L, il existe une suite (gn) d'éléments de G tel que lim (gn(infini)) = x. Dans le cas où x est un point conique, la vitesse de convergence de cette suite est reliée à l'excursion positive de la projection de la géodésique (infini, x) dans le cusp associé au point infini de la surface G/X. Par cette approche, on obtient un équivalent géométrique des théorèmes de Dirichlet et de Hurwitz, qui, lorsque G = PSL(2,Z) correspond aux théorèmes classiques.
De nombreux travaux ont été écrits sur cette interprétation des nombres, peu sont élémentaires. Suite à différents exposés que j'ai donnés dans des écoles d'été et à l'intérﾐt qu'ils ont suscité, j'ai entrepris d'en rédiger une introduction élémentaire illustrée d'exemples et enrichie de commentaires [1].
Rigidité des variétés localement symétriques
La variété X est maintenant un espace symétrique de type non compact. Sous cette hypothèse, le spectre marqué des longueurs de G détermine G/X.
Théorème [4,5]– Soit X1 et X2 des espaces symétriques de type non compact et G1 , G2 des sous groupes d'isométries Zariski denses. Si f est un homomorphisme surjectif entre G1 et G2 tel que l(g) = l(f(g)) pour tous g dans G1 alors f induit une isométrie entre X1 et X2 qui conjugue les groupes.
L'hypothèse de Zariski densité se traduit géométriquement. La démonstration de ce théorème a d'ailleurs été écrite dans un esprit géométrique, l'idée étant de pouvoir aborder le problème général.
Question – Le théorème est-il vrai si X1 et X2 sont des variétés de Hadamard et G1 et G2 des sous-groupes cocompacts ?
En présence d'espaces symétriques de rang >1 l'analogue des isométries sur les variétés hyperboliques responsables des géodésiques fermées sont des isométries h laissant invariant des plats sur lesquels elles agissent par translation de vecteur v(h). Le théorème suivant répond à une question de G. Margulis.
Théorème [4]– Le premier théorème du paragraphe II est encore vrai si on remplace la condition sur les longueurs par : pour tous g dans G1 il existe un réel k non nul tel que v(g) = kv(f(g)).
Géométrie sur les produits de variétés hyperboliques
Je suppose que X est un produit Riemannien de deux variétés hyperboliques X1 et X2.
La présence de plats Euclidiens dans la variété provoque une perte de souplesse de sa géométrie. Le bord géométrique régulier de X s'identifie à bord(X1)xbord(X2)xR+* , contrairement au cas hyperbolique l'ensemble limite régulier Lr de G n'est en général pas minimal.
Théorème [2]– La projection F de Lr sur bord(X1)xbord(X2) est un fermé minimal pour l'action de G et Lr = FxP, où P est l'adhérence des l(g)/l(g') avec (g, g') dans G.
On peut également construire dans ce contexte des mesures conformes m sur L. Cet ensemble n'étant pas minimal se pose alors la question du support de ces mesures.
Théorème [2]– Si L = Lr , le support de m est de la forme Fx’pý avec p dans P.
A partir de m on construit sur G/T1X1 xT1X2 une mesure M invariante par le produit des flots géodésiques appelé groupe des chambres de Weyl.
Question – Si G est compact la mesure M est-elle proportionnelle à la mesure de Liouville ?
Dans cet esprit de rigidité se posent également des questions d'ordre topologique.
Question – Si G est un réseau non uniforme de SL(2,R) x (SL(2,R) les orbites bornées du groupe des chambres de Weyl sont-elles périodiques ?
Via un résultat de G. Margulis, si on remplace dans cette dernière question, G par SL(3,Z) et SL(2,R)xSL(2,R) par SL(3,R), on obtient un équivalent géométrique de la conjecture suivante :
conjecture de Littelwood - Quelque soit les réels x1, x2 il existe une infinité d'entiers qn >0 et pn1 ,pn2 , tels que lim qn ﾐ qn x1 - pn1 ﾐ ﾐqn x2 - pn2 ﾐ= 0.
Mes publications
[1] "Des trajectoires géodésiques et horocycliques sous la voûte étoilée d'un groupe fuchsien".
Livre soumis.
[2] "Ergodic geometry on the product of pinched Hadamad manifolds".
prépublication
Coauteur : I. Kim
[3] "On non compact minimal sets of the geodesic flow".
J. of dyn. and control Syst., Vol. 8 n¡1 (2002) 47-64.
Coauteur : A. Starkov
[4] "Marked length rigidity for symmetric spaces".
Comment. Math. Helv. 77 (2002) 1-9.
Coauteur : I. Kim
[5] "A criterion of conjugacy for Zariski dense subgroups".
C.R.A.S. t. 330 (2000) série I, 647-650.
Coauteur : I. Kim
[6] "On a classification of limit points of infinitely generated Schottky groups".
J. of dyn. and control Syst., Vol. 6 n¡4 (2000) 561-578.
Coauteur : A. Starkov
[7] "Topologie du feuilletage fortement stable"
Annales de l'Institut Fourier. t. 50 (2000), 3, 981-993.
[8] "Séries de Poincaré des groupes géométriquement finis"
Isra‘l. Journ. Math. 118 (2000), 109-124
Coauteurs J.-P. Otal - M. Peigné.
[9] "Remarques sur le spectre des longueurs d'une surface et comptages"
Bol. Soc. Bras. Math. Vol. 30 n¡2 (1999), 199-221.
[10] "Some negatively curved manifolds with cusps, mixing and counting"
J. Reine Angew. Math. 497 (1998), 141-169.
Coauteur M. Peigné.
[11] "Géodésiques fermées et pointes en courbure variable"
C.R.A.S. t. 322 série 1 (1996), 939-944.
Coauteur M. Peigné.
[12] "Groupes du Ping-Pong et géodésiques fermées en courbure -1"
Ann. Inst. Fourier t. 46 (1996) Fasc. 3., 755-799.
Coauteur M. Peigné.
[13] "Comportement asymptotique du nombre de géodésiques fermées sur la surface modulaire en courbure variable"
Astérisque n¡ 238 (1996), 110-175.
Coauteur M. Peigné.
[14] "Inexistence de structures affines sur les fibrés de Seifert"
Math. Annalen 296 (1993), p. 743-753.
Coauteurs Y. Carrière - G. Meigniez.
[15] "Remarques sur les variétés affines munies d'un champ parallèle ou radiant"
C.R.A.S. t. 313 série 1 (1991), 869-872.
[16] "Généralisation du premier théorème de Bieberbach sur les groupes
cristallographiques"
L'Ensgt. Math. 35 (1989), 245-262.
Coauteur Y . Carrière.
Habilitation à diriger des recherches
"Sur l'usage de groupes libres en géométrie "
Institut Mathématique de Rennes (2000)
Thèse
"Champs parallèles, radiance, inexistence de structures affines sur certains fibrés
de Seifert"
Institut Fourier (1991)
Rédactions d'exposés ou de séries d'exposés dans des cahiers de séminaires
[1] "Géométrie d'une famille de groupes agissant sur le produit de deux variétés de
Hadamard"
Sém. Théor. Spec. et Géom. de Grenoble (1996-97), 85-98.
[2] "Groupes de Schottky, groupe modulaire, applications"
Rédaction d'une série de 5 exposés
Sém. de Géom. et Top. de Montpellier (1995-1996).
[3] "Codage des géodésiques fermées des quotients de l'espace hyperbolique par un groupe libre. Influence des paraboliques"
Sém. de Géom. et Top. de Montpellier (1994-1995).
[4] "Propriétés de mélange pour les groupes à un paramètre de SL (d, R)"
Rédaction de 2 exposés donnés par Y. Guivarc'h -
Sém. Proba. Rennes (1992). Coauteurs M. Bauer - A. Broise - F. Guimier –
M. Peigné.
[5] "Des groupes magiques"
Sém. Théor. Spec. et Géom. de Grenoble (1989-1990), 19-26.
dernière mise à jour : février 2006