Description locale

On note les vecteurs unités de . Soit une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées définies sur le même espace de probabilité et à valeurs dans avec

pour tout et tout .

On note , écriture réminiscente de l'écriture introduite pour la probabilité de transition d'une chaîne de Markov ; le processus est en effet une chaîne de Markov. On vérifie immédiatement les propriétés élémentaires de qui sont résumées ci-dessous ;

• Symétrie .
• Invariance aux translations . Cette propriété nous assure qu'il suffit d'étudier les marches ancrées à l'origine.
• Invariance aux renversements .
• Démarrage déterministe .

Pour tout entier , le processus est une marche de longueur ancrée à l'origine indépendante de . On conclut que l'équation de Chapman et Kolmogorov est vraie :

Puisque est la somme de variables aléatoires indépendantes, la loi de la limite centrale garantit que

où est la norme euclidienne de . Pour la marche aléatoire on peut cependant montrer un résultat plus fin, connu sous le nom de théorème local de limite centrale, qui prédit

où si, et seulement si, .

Ce théorème, comme beaucoup d'autres propriétés probabilistes de , peuvent être obtenues (voir par exemple [#!Law!#]) à partir de la fonction caractéristique

où est le produit scalaire euclidien sur . Or,

On peut, par exemple, calculer pour tout ,

On constate donc que le problème de marches aléatoires ordinaires sur le réseau en dimension est un problème soluble étant donné que la loi est explicitement connue par la formule ci-dessus. Par ailleurs, le théorème local de la limite centrale garantit que les valeurs de pour lesquelles sont celles où . On retrouve le phénomène typique de la promenade d'un ivrogne qui après pas ne se déplace que d'une distance .