Environnement déterministe

Un autre cas qui peut être traité par une description gibbsienne est la répartition des marches aléatoires. La formulation qui va être donnée est indépendante des contraintes éventuelles ; elle s'applique donc universalement tant pour les marches sans contraintes ou avec une quelconque des contraintes (extrémités fixes, non recoupement ou autre). Soit donc l'ensemble de marches à considérer (avec ou sans contraintes), de longueur , ancrées à l'origine et soit .

Suivant Gibbs, on distingue deux ensembles statistiques, le canonique et le grand canonique, suivant que la longueur de la marche soit fixe ou variable ; dans ce contexte, la longueur joue le même rôle que le nombre de particules dans un gaz.

On définit comme fonction de partition canonique, sur l'espace de configurations , la quantité qui est la masse totale de la mesure de comptage de cette espace. La mesure de Gibbs (canonique) associée sera donc , étant la mesure de comptage. Pour décrire l'ensemble grand canonique^7.4, on introduit l'ensemble qui est l'ensemble de toutes les marches ancrées à l'origine indépendamment de leur longueur. La fonction de partition grand canonique est alors où est une constante positive appelée fugacité. La mesure de Gibbs (grand canonique associée) sera

On remarque que la série qui définit la fonction de partition grand canonique converge uniquement pour où est le nombre de coordination effectif. Ceci entraîne que si on calcule l'espérance de la longueur des marches , elle diverge quand . La fugacité joue donc le rôle d'un paramètre de régulation qui permet de sélectionner dans l'échantillon statistique de marches plus où moins longues. Par ailleurs, on peut montrer que la fluctuation de autour de sa valeur moyenne est négligeable. La description grand canonique est alors équivalente à la description canonique.