Description scientifique du projet

Notre cadre de travail est donc fourni par la mécanique des fluides : les équations d'Euler notées (E), les équations de Navier-Stokes désignées par (NS) ainsi que leurs extensions telles que par exemple la magnétohydrodynamique. Notre objectif est de décrire la propagation de solutions qui sont singulières parce que non données par les énoncés classiques. Il s'agit d'aller au delà des résultats d'existence et d'unicité connus ou, à défaut, d'expliquer pourquoi cela n'est pas possible. Ce programme recouvre plusieurs facettes 1), 2) et 3) décrites ci-dessous.

1) Ce premier volet est consacré au comportement en temps grand des solutions de l'équation d'Euler incompressible en dimension deux d'espace.

Le problème de Cauchy pour l'équation d'Euler incompressible bidimensionnelle est globalement bien posé dans plusieurs cadres différents: tourbillon régulier (Wolibner), borné (Yudovich), dans $L^p$ (DiPerna-Majda), mesure de Radon positive dans $H^{-1}$ (Delort, nappes de tourbillon).

En dépit de cette théorie d'existence bien mise au point, peu de choses sont connues concernant le comportement en temps grand de ces solutions. Ceci n'est pas si surprenant car même les approximations discrètes à petit nombre de particules peuvent générer une dynamique très complexe. Comme le tourbillon est transporté par le flot $\Phi$, et que le flot préserve la mesure, il s'ensuit que les normes $L^p$ du tourbillon sont constantes en temps. Dans le cas des solutions régulières, la régularité Hölderienne du flot est conservée mais les bornes disponibles sur les normes de Hölder du flot sont deux fois exponentielles en temps. Clairement, la croissance des normes de Hölder est liée à l'évolution sous le flot des régions compactes.

Si le tourbillon initial est à support dans un compact (noté $N$), on peut montrer sans difficulté qu'à l'instant $t$, le support du tourbillon est contenu dans le compact $N(t)=\Phi(t,N)$. Rien n'est connu sur la géométrie de l'ensemble $N(t)$. Remarquons au passage qu'il a été montré par Chemin qu'une poche de tourbillon (le tourbillon est une fonction caractéristique) initialement régulière le reste pour tout temps.

Les premiers résultats qui essaient de décrire le comportement en temps grand ont été obtenus dans

[Ma1] C. Marchioro, 1994, Bounds on the growth of the support of a vortex patch, comm. Math. Phys., 164 (3), 507-524

où la borne $O(t^{1/3})$ pour l'ensemble $N(t)$ est prouvée dans le cas où le tourbillon est positif et $\Omega = \R^2$. Toujours dans le cas du tourbillon positif mais pour un domaine extérieur, l'article

[Ma2] C. Marchioro, 1996, On the growth of the vorticity support for an incompressible non-viscous fluid in a two-dimensional exterior domain, Math. Methods Appl. Sci., 19 (1), 53-62

donne la borne $O(t^\alpha)$ pour tout $\alpha>1/2$. Nous avons considéré dans [I3] le cas d'un demi-plan en montrant des résultats de confinement du support du tourbillon suivant les directions parallèles et perpendiculaires au bord.

Enfin, nous avons proposé dans [I3] et [I4] un modèle plus précis pour le comportement en temps grand. Il semblerait qu'il y aurait une décomposition du tourbillon en plusieurs morceaux qui se déplaceraient presque indépendamment les uns des autres. Nous avons exprimé de manière rigoureuse ce phénomène en montrant que s'il y a un comportement asymptotique bien établi, ce ne peut être que celui décrit plus haut.

Nous souhaitons dans un premier temps poursuivre l'étude encore très incomplète du comportement en temps grand pour l'équation d'Euler. Plus précisément, les directions retenues sont les suivantes :

1.1) Confinement du tourbillon dans un domaine extérieur. D'abord, concernant le confinement du support du tourbillon, nous souhaitons améliorer les résultats déjà disponibles. Plus concrètement, dans le cas où $ \Omega $ est un domaine extérieur, il semblerait que la borne donnée par [Ma2] ne soit pas optimale, au moins dans certains cas.

- L'extérieur d'un disque. Dans le cas de l'extérieur d'un disque, la conservation du moment d'inertie reste vraie. Une modification facile des preuves existantes montre que, dans ce cas, la croissance est au plus en $O[(t\log t)^{1/3}]$. Si l'on disposait en plus de la conservation du centre de masse, on pourrait alors en déduire la borne $O[(t\log t)^{1/4}]$. Cependant, le centre de masse n'est pas conservé dans ce cas. Au vu de la symétrie du problème, se pose naturellement la question suivante: peut-on remplacer la conservation du centre de masse par une autre conservation qui impliquerait également la borne $ O[(t\log t)^{1/4}] $ ? On pense que la réponse est affirmative et on sait le montrer sous l'hypothèse supplémentaire de symétrie du tourbillon par rapport au centre du disque. Un sujet de recherche intéressant serait de montrer que l'on peut renoncer à cette hypothèse contraignante.

- L'extérieur d'un compact simplement connexe. Si l'on se place sur un domaine dont l'extérieur est un ensemble compact simplement connexe, on peut utiliser une transformation conforme pour se ramener à l'extérieur d'un disque et donner une expression simple pour la loi de Biot-Savart qui relie le tourbillon au champ de vitesses (voir [I5]). Or seules les symétries du noyau $K$ de la loi de Biot-Savart sont à l'origine de la conservation des divers moments du tourbillon. Par exemple, la conservation du centre de masse résulte de l'antisymétrie du noyau $K(x,y)$ par rapport au changement de variables $(x,y)\leftrightarrow(y,x)$ et la conservation du moment d'inertie est une conséquence de l'antisymétrie de $x\cdot K(x,y)$ par rapport au même changement de variables. Notre observation consiste à dire que pour l'extérieur d'un compact simplement connexe, la fonction de Green $G(x,y)$ s'obtient à partir de celle de l'extérieur d'un disque en remplaçant $(x,y)$ par $(\varphi(x),\varphi(y))$, où $\varphi$ est la transformation conforme utilisée. Ceci fournit donc pour le noyau $K=\nabla^\perp_x G$ des symétries proches de celles du cas de l'extérieur d'un disque. Une autre partie de ce sujet de recherche pourrait donc être consacrée à trouver des (presque) conservations dans ce cas et à améliorer les résultats de [Ma2].

1.2) Asymptotique à temps grand. Ensuite, nous voulons regarder l'asymptotique en temps grand. Dans le cas où le tourbillon est positif, seuls des résultats de confinement du tourbillon sont disponibles actuellement pour décrire le comportement à temps grand. Or ces résultats sont très probablement loin d'être optimaux et ne donnent qu'une faible indication. Nous souhaitons adapter les méthodes de [I3] et [I4] pour essayer de donner un résultat de convergence faible de certaines mises à l'échelle du tourbillon, un résultat qui irait au-delà de ce qui résulte trivialement des théorèmes de confinement.

Dans le cas où le tourbillon change de signe, nous avons décrit dans [I3,I4] le seul comportement asymptotique possible: si le tourbillon mis à l'échelle $\tilde \omega (t,x) = t^2 \omega (t,tx)$ admet une limite faible lorsque $t$ tend vers l'infini, alors cette limite est nécessairement une somme de masses de Dirac. Ce résultat ne constitue qu'un bref aperçu de ce que peut être l'asymptotique en temps grand pour l'équation d'Euler. Dans un premier temps, nous nous proposons d'étudier dans quelle mesure l'hypothèse citée ci-dessus est vérifiée. Si dans certaines situations cette hypothèse n'est pas vérifiée, on peut se demander par quoi elle pourrait être remplacée. Afin de pallier aux éventuelles oscillations en temps qui peuvent apparaître, on pourrait par exemple supposer que la moyenne en temps de $\tilde \omega$ converge.

Une fois cette hypothèse contraignante éliminée, se pose naturellement la question de déterminer les masses et les positions des masses de Dirac que l'on trouve à la limite. Comment peut-on expliciter ces quantités en fonction du tourbillon initial? La suite de cette étude pourrait essayer de donner une réponse à cette question.

Enfin, une dernière étape à plus long terme serait l'étude des propriétés de localisation autour des masses de Dirac. En effet, si le résultat ci-dessus dit (modulo l'hypothèse technique) que le tourbillon se concentre autour de différents points de la forme $ t \sigma_i $, il ne dit strictement rien sur la taille de ces concentrations. On pourrait donc essayer d'estimer ces tailles, peut-être même démontrer des résultats de confinement du tourbillon autour de ces points de convergence asymptotique.

2) Nous souhaitons ici focaliser notre attention sur la question de l'explosion éventuelle des solutions de l'équation de Navier-Stokes en trois dimensions d'espace. C'est l'une des grandes questions ouvertes sur cette équation: s'il parait pour l'instant hors d'atteinte de démontrer l'explosion ou non des solutions régulières des équations de Navier-Stokes, il est certainement intéressant de s'intéresser de plus près au profil à l'explosion d'une solution qui serait explosive. Jean Leray, dans son travail fondateur sur les équations de Navier-Stokes, avait proposé un profil d'explosion de type autosimilaire. Récemment, L. Escauriaza, G. Seregin et V. Sverak dans l'article

[ESS] L. Escauriaza, G. Seregin, V. Sverak, 2003, On solutions to the Navier-Stokes equations and backward uniqueness, Russ. Math. Surv., 58 (2), 211-250

ont obtenu le résultat suivant : toute solution assez régulière de Navier-Stokes qui exploserait en temps fini ne peut être bornée dans les normes spatiales invariantes d'échelle au voisinage du temps d'explosion. Cela permet en particulier d'exclure le profil suggéré par Jean Leray (retrouvant ainsi un théorème spécifique aux solutions autosimilaires obtenu par J. Necas, M. Ruzicka et V. Sverak). Ce résultat repose sur des méthodes de type unicité rétrograde, communes en théorie du contrôle mais nouvelles dans ce contexte. Il convient donc de faire le lien avec les résultats existants sur la description du phénomène d'explosion, en particulier les décompositions en profils d'I. Gallagher. En effet, le théorème donné dans [ESS] n'exclut pas en outre un phénomène d'oscillation au voisinage de l'explosion. Les profils et les décompositions haute fréquence issues de l'optique géométrique nonlinéaire sont l'outil adapté pour séparer oscillations et phénomènes de concentration. A terme, une meilleure description de l'explosion peut faire apparaître une certaine rigidité dans le comportement de la solution. On peut espérer ensuite en faire usage pour exclure l'existence d'une telle solution.

Ainsi plusieurs pistes de recherches semblent prometteuses pour essayer de mieux comprendre le comportement à l'explosion des solutions de Navier-Stokes.

2.1) Faire une étude approfondie des techniques de [ESS]. Comme indiqué ci-dessus, le travail de [ESS] prend sa source dans des méthodes issues de la théorie du contrôle. C'est la première fois que ce type de technique apporte un résultat nouveau et décisif dans la théorie du problème de Cauchy pour (NS), et il est très probable qu'une compréhension profonde des mécanismes en jeu dans la preuve de la non existence de profils d'explosion invariants d'échelle nous donnera une nouvelle compréhension des équations elles-mêmes.

2.2) Une fois la démonstration de [ESS] comprise en profondeur, il s'agit de la confronter à des résultats connus sur les oscillations/concentrations dans le système de Navier-Stokes. Dans le travail [Ga3] on étudie ainsi des décompositions en profils pour (NS), c'est-à-dire que l'on cherche une description précise de familles de solutions bornées, comme une décomposition de profils auto-similaires. Un exemple de telle famille de solutions bornées pourrait précisément être la valeur prise par la solution en une suite de temps tendant vers le temps d'explosion (comme rappellé ci-dessus, un phénomène d'oscillation à l'explosion ne peut a priori être exclu par le résultat [ESS]). Le but ultime recherché est bien entendu d'exclure de telles solutions explosives (ou au contraire d'en exhiber).

Pour tenter d'apporter une réponse à la question de l'explosion il semble naturel de se pencher également sur d'autres travaux récents sur le comportement à l'explosion pour d'autres systèmes, comme KdV ou Schrödinger (voir les travaux de Martel-Merle et Merlet-Raphaël). Pour ces systèmes (bien entendu de structure assez différente du système de Navier-Stokes), des avancées spectaculaires ont été réalisées récemment, dont l'inspiration est à rechercher dans les travaux antérieurs sur l'explosion dans les systèmes paraboliques, ce qui suggère naturellement de revenir au système de Navier-Stokes.

2.3) Une problèmatique duale de celle de l'explosion concerne le comportement en temps grand des solutions de (NS), dans le cas où elles n'exposent pas en temps fini. Le résultat de [Ga1] affirme que toute solution globale tend vers zéro quand le temps tend vers l'infini, mais ne donne aucune information précise sur la vitesse de convergence. Il semble difficile d'obtenir des résultats précis avec les techniques actuelles mais on pourrait chercher à décrire au moins qualitativement la convergence vers zéro des solutions.

2.4) Une autre dircetion de recherche serait d'apporter une réponse à la question ouverte suivante. Existe-t-il des solutions autosimilaires rétrogrades et explosives pour la MHD? La difficulté principale, comme il a été observé dans

[HX] C. He, Z. Xin, 2005 à paraître, On self-similar solutions of the magnetohydrodynamic equations, SIAM J. Math. Analysis

vient de l'impossibilité apparente, à cause du champ magnétique, d'utiliser les arguments introduits par Necas, Ruvzicka et Sverak dans le cadre de Navier-Stokes. He et Xin obtiennent tout de même, avec une méthode différente, le résultat partiel suivant: la solution nulle est la seule solution autosimilaire issue de données initiales petites. Bien entendu, il est indispensable de se débarasser de cette condition de petitesse, très contraignante lorsqu'on cherche des solutions explosives.

Pour répondre à cette question, nous envisageons plusieurs pistes: on peut bien entendu espérer qu'un résultat du même style que celui d'Escuriaza, Seregin et Sverak [ESS] puisse se généraliser à la MHD. Mais nous souhaitererions aller plus loin, à savoir établir la non-existence de solutions pseudo-autosimilaires explosives: il s'agit de solutions où le champ de vitesse est de la forme $u(x,t) = \mu(t) U(\lambda(t) x)$. Ce programme avait été lancé par J.Necas peu de temps avant sa disparition. Récemment, l'étude de ces solutions a été poussée assez loin, notamment par Malek, Miller, Pokorny et Schonbek, mais seulement dans le cadre des équations de Navier--Stokes.

Nous avons l'intention de poursuivre l'étude de la MHD aussi dans une direction un peu différente. En effet, on connaît peu de choses relatives à l'influence du champ magnétique sur le comportement en variable d'espace du champ de vitesses $u$. Plus précisément, le champ magnétique $B$ permet-il une bonne localisation pour $u$? On s'attend à une réponse négative, au moins pour les écoulements génériques. Cela n'exclut pas que pour des choix bien particuliers du champ magnétique initial, on puisse obtenir des solutions dans lesquelles le mouvement reste concentré dans une région bornée de l'espace: le comportement spécial de ces solutions serait dû à des interactions entre les différentes composantes du champ de vitesse et du champ magnétique. La signification physique de ces interactions nécessite d'être clarifiée.

En outre, l'équation d'évolution de $$B$ montre des analogies remarquables avec celle du tourbillon d'un fluide visqueux dépourvu de charges électriques. Les techniques utilisées récemment par L. Brandolese [Br2] (où l'équation est étudiée dans un espace fonctionnels dépendant de la donnée initiale) devrait alors fournir des renseignements assez précis sur les propriétés de localisation du champ magnétique.

3) La contribution récente [Che1] produit des exemples de suites de solutions (approchées ou exactes) qui ne sont pas bornées dans les espaces pour lesquels on connait le caractère bien posé des équations (E) et (NS). Voir aussi :

[GS] I. Gallagher, L. Saint-Raymond, Asymptotics results for pressureless magneto-hydrodynamics, arxiv, math.AP/0312021,

[Ca6] R. Carles, Cascade of phase shifts for nonlinear Schrodinger equations, 18 pages, arxiv, math.AP/0502242.

Ces résultats s'inscrivent dans le prolongement de travaux fins en optique géométrique. Ils mettent en valeur des phénomènes nouveaux liés à la présence d'oscillations portées par la variable temps ou espace. Ils apportent quelques réponses, indiquent surtout pourquoi certaines approches usuelles n'aboutissent pas et, en cela, s'ouvrent sur de nombreuses questions ouvertes et des perspectives parmi lesquelles on peut citer : 3.1) Analyse sur-critique des EDP non linéaires. C'est un sujet qui en est encore à ses débuts. Une première percée (qui s'appuie sur des notions d'optique géométrique et qui concerne les équations d'Euler en dimension deux d'espace) a été effetuée très récemment (se reporter aux prépublications mises en ligne sur cette page). Cette approche originale permet dors et déjà de mettre en valeur :

- l'apparition de caustiques pour Euler 2D. Il s'agit maintenant de décrire ce qui se produit après l'apparition de ces caustiques qui ici se traduisent (dans un certain régime asymptotique) par la formation de chocs au niveau de la phase ou du profil.

- des contre-exemples à la propriété dite de concentration-cancellation. Autrement dit, on sait aujourd'hui prouver que les équations d'Euler posées en dimension deux d'espace ne sont pas localement fermées pour la topologie faible de l'espace L^2 des estimations d'énergie. Ou encore, on sait qu'il existe des suites dont chaque terme est solution d'Euler 2D, qui satisfont des estimations uniformes dans L^2_loc, mais dont la limite faible n'est pas solution d'Euler. Il reste désormais à s'affranchir du caractère local afin de produire des exemples de telles suites qui cette fois-ci sont globalement définies et vérifient une majoration uniforme dans L^2 tout entier.

- De nouveaux phénomènes d'interaction d'ondes. Il est possible de décrire (toujours pour Euler 2D, avec justification à la clé) l'interaction d'une oscillation monophase de grande amplitude de phase \phi et de fréquence 1/\eps bien préparée avec une quelconque oscillation de faible amplitude \eta de phase \psi transverse à \phi et de fréquence 1/\eta. Dans les cas dont il est question, on observe la création spontanée d'une nouvelle échelle d'oscillation en 1/(\eps \eta). Dans cette opération, les fréquences se trouvent donc multipliées ce qui est l'amorce d'une cascade d'énergie vers les hautes fréquences, phénomène typique des régimes turbulents. Il conviendrait de généraliser cette première description en assouplissant les contraintes imposéees à l'oscillation de grande amplitude (de phase \phi et de fréquence 1/\eps) et en prenant en compte son interaction avec certaines oscillations de grande amplitude à phases \psi transverses.

Les énoncés partiels décrits ci-dessus et les questions correspondantes sont posés dans un cadre très spécifique, celui des équations d'Euler 2D. Une chose intéressante serait de déterminer comment ces résultats se trouvent affectés (voire améliorés) en présence d'un petit terme de viscosité. C'est une manière d'aborder certains problèmes soulevés par le passage à la limite de Navier-Stokes vers Euler par viscosité évanescente. Techniquement, cela soulève des difficultés car les outils compatibles avec la partie transport ne le sont pas forcément avec le Laplacien, et réciproquement. Avec T. Hmidi et S. Keraani, nous nous proposons de creuser cet aspect.

Une autre direction de recherche serait d'étendre les résultats mentionés ci-dessus, relatifs à Euler 2D au cas d'une dimension d'espace quelconque et au cas d'un champ linéairement dégénéré quelconque. Bien sûr, ceci est un objectif à beaucoup plus long terme, l'idée étant d'aboutir à une meilleure analyse multi-phase et multi-échelle des interactions d'ondes de grande amplitude susceptibles de se produire au niveau d'un système de lois de conservation.

On peut aussi tenter de généraliser les méthodes dont il est question à d'autres contextes. Avec B. Texier, dans la continuité de [T3], nous allons essayer de tester puis, éventuellement, de justifier des modèles de type Zakharov pour des régimes qui n'ont pas encore été envisagés.

3.2) Liens avec la physique statistique et en particulier avec les phénomènes de cascade de phases et d'énergies observés par les exprimentateurs.

3.3) Applications à la modélisation. En raison du trop grand nombre de degrés de liberté présent dans un écoulement turbulent, il est impossible actuellement de simuler les choses numériquement. En général, les mécaniciens ont recours à des modèles de turbulence qui font souvent apparaître différents paramètres (longueur de mélange, fréquence de coupure, etc ...). Ensuite se pose la question de savoir comment ces modèles convergent vers les équations de Navier-Stokes lorsque ces paramètres tendent vers leurs valeurs limites et quelle est l'erreur commise.

D'un coté, les données recueillies par les mécaniciens aident à mieux cerner les problèmes mathématiques qui ont un sens du point de vue de la physique. De l'autre coté, les outils mathématiques et leurs conséquences permettent de guider l'intuition des mécaniciens dans la mise en place de modèles pertinents. C'est la partie interdisciplinaire du projet qui est naturelle compte tenu du sujet abordé et que nous nous proposons de développer ici en liaison avec R. Lewandowski et ses élèves.

3.4) Adaptation de la méthode développée dans [Che1] dans le contexte des couches limites pour Navier Stokes. Il s'agit en fait de construire des développements asymptotiques à plusieurs échelles (solutions formelles dans un premier temps puis, si possible, exactes) localisés dans des couches limites et faisant apparaître des phénomènes de cascade de phases. De nombreuses discussions ont déjà eu lieu à ce propos avec J. Vovelle.

3.5) Extension des approches menées dans [GS] à des situations inhomogènes plus générales.