Benjamin BOUTIN
IRMAR Rennes
Dans le contexte des solutions de systèmes de lois de conservation hyperboliques, une fermeture est nécessaire au modèle du premier ordre que constitue l'EDP hyperbolique pour capturer la solution «physique». Le cadre bien posé typique est celui des solutions entropiques. Ces solutions, dites classiques, apparaissent également à travers les approximations visqueuses de l'EDP hyperbolique considérée. Une alternative à cette fermeture, également pertinente dans l'étude de certains phénomènes physiques, est fournie par des approximations d'ordre supérieur, faisant intervenir par exemple des termes de dispersion en plus des termes de diffusion. On parle alors de solution «non classique». Contrairement aux solutions classiques, ces solutions ne satisfont généralement pas aux habituels critères de sélections retenus, tels que les inégalités d'entropie ou les critères de compressibilité de et d'. L'influence des phénomènes de petites échelles peut néanmoins être restituée au moyen d'autres caractéristiques macroscopiques telles que la relation cinétique qui permet de sélectionner les chocs sous-compressifs admissibles.
La mise en œuvre numérique de ces solutions non classiques est rendue délicate par leurs propriétés évoquées précédemment. Les schémas de volumes finis habituels échouent en effet à leur calcul puisqu'ils s'appuient sur les «bonnes» propriétés attendues des solutions exactes (caractère TVD ou entropique) qui sont ici mises en défaut. Les approches antérieures pour remédier à ces difficultés sont basées par exemple sur des méthodes d'échantillonnage aléatoire de type ou par des montées en ordre.
L'étude menée avec C. , F. et P.G. concerne l'élaboration d'un schéma numérique pour le calcul de ces solutions non classiques. Il a pour particularités d'être à la fois conservatif, non-oscillant et de pourtant très peu diffuser les chocs non classiques.
Mon travail sur le couplage interfacial de modèles hyperboliques s'inscrit parmi les sujets d'étude du Commissariat à l'Énergie Atomique de Saclay ainsi que ceux du groupe de travail associant le Laboratoire Jacques-Louis Lions au SFME/DM2S du CEA. Plus précisément, mes recherches concernent l'étude mathématique et numérique du «couplage par état» à travers différents modèles d'interface. Elles fournissent des éléments théoriques et numériques pour la compréhension et le traitement des difficultés en présence d'interfaces résonnantes.
Le couplage de deux systèmes d'EDP hyperboliques consiste en la résolution de deux lois de conservation hyperboliques posées chacune sur des domaines d'espace différents. Ces domaines sont séparés par une interface fixe au travers de laquelle une condition de couplage doit être formulée. Elle requiert typiquement de réaliser, autant que faire se peut, la continuité de certaines quantités physiques. Un comportement résonnant de l'interface peut survenir, qui se manifeste par l'impossibilité de satisfaire à cette continuité ou par l'apparition d'une multiplicité de solutions (éventuellement une infinité !).
Les motivations à l'étude de cette problématique sont d'ordre pratique, notamment pour aborder le couplage de codes de calcul hérités de différents modèles, mais également d'ordre théorique : étude d'un problème mathématique mal posé.
La relation interfaciale de couplage peut se réinterprèter comme une double condition de bord. En ces termes, elle doit alors en fait se comprendre dans un sens affaibli proposé dans les travaux de F. et P.G. puis repris dans ceux de E. et P.-A. . Avec C. et P.-A. , l'existence d'au moins une solution au problème de couplé a été obtenue, dans le cas scalaire monodimensionnel. Des situations résonnantes sont exhibées, qu'une mise à l'épreuve numérique a révélées comme problématiques : la solution numérique capturée (parmi la non-unicité) est sensible au schéma employé.
Une reformulation de ce problème de couplage a été proposée avec F. et E. afin de dégager un critère de sélection des solutions dans ce cadre résonnant. L'approche proposée consiste à considérer un système posé sur l'espace tout entier, en conférant à l'interface de couplage une structure d'onde stationnaire par l'introduction d'une variable supplémentaire discontinue (fonction de couleur). On en analyse ensuite des approximations visqueuses particulières. Cette même approche est étendue au cas du couplage de systèmes hyperboliques dans le cadre d'un travail avec F. et P.G. où nous recherchons les solutions du problème de par des méthodes dues à C. ainsi qu'à A. . L'unicité n'est pas assurée par cette approche, néanmoins on met en évidence l'influence des phénomènes fins à l'interface sur la sélection d'une solution en cas de non-unicité, à travers une équation de profil visqueux décrivant la transition à l'interface et la présence d'éventuels chocs stationnaires entropiques à l'interface.
Partant de la vision du problème considérée dans le travail précédent, nous avons considéré avec F. et P.G. un modèle d'interface épaisse où la fonction couleur est désormais choisie et régulière. Ce mécanisme de régularisation artificielle assure enfin le caractère bien posé du problème. De façon remarquable, cette formulation s'adapte naturellement pour traiter un couplage multidimensionnel et multicomposante (voir exemple ci-dessous). Nous proposons alors un schéma numérique préservant les équilibres, schéma que nous montrons converger. Rappelons que les solutions stationnaires pour le problème couplé diffèrent des états constants en espace ; ce sont précisément ces stationnaires que le schéma préserve exactement. La convergence du schéma est obtenue dans le cadre d'une donnée initiale simplement bornée et pour une fonction couleur (décrivant l'interface) suffisamment régulière, ceci par l'emploi des solutions à valeur mesure entropiques de .
La figure suivante illustre la sensibilité de la solution capturée à la structure de l'interface de couplage dans les situations résonnantes (à gauche : trois interfaces différentes, à droite : les solutions correspondantes). Les solutions capturées ont ici une structure de «double-détente» avec un état intermédiaire sensible à l'interface choisie.
La figure suivante (cliquer sur l'image pour voir une video) représente une onde de choc traversant deux «inhomogénéités» (un domaine corronal et un domaine triangulaire) dans lesquelles la fonction de flux diffère et à l'interface desquelles une relation de couplage est prescrite. En temps grand s'établit une solution stationnaire qui satisfait aux relations de couplage attendues. (Note : la situation présente n'est pas affectée par le phénomène de résonance).
On s'intéresse à un système d'EDP décrivant l'interaction entre une phase fluide et un ensemble de particules immergées dans ce fluide, et prenant en considération les effets de friction, de flottabilité et les échanges d'énergie entre ces deux phases. De nombreuses applications motivent cette étude, qui s'intéressent à la dynamique de sprays biomédicaux, de systèmes d'extinction d'incendie, ou encore à la diffusion des polluants dans l'atmosphère. La phase dense est décrite par les équations d' et la phase dispersée des particules est décrite par un modèle cinétique prenant la forme d'une équation de avec un opérateur de .
L'étude menée concerne l'extension des résultats antérieurs obtenus dans un cadre plus simple (fluide isentropique, pas d'échange d'énergie) par , et . Ces auteurs ont identifié des régimes asymptotiques dans le dimensionnement des deux phases et ont proposé des schémas numériques préservant ces asymptotiques.