Théorie de Nevanlinna et géométrie diophantienne

Cours de master de mathématiques (2011–2012)

Présentation

Le cours consistera à une introduction à deux sujets apparemment distincts: l'analyse complexe et la théorie de Nevanlinna d'un côté la théorie des nombres et la géométrie diophantienne de l'autre. Nous entreverrons des analogies suggestives mais mystérieuses entre ces deux sujets.

1. Introduction. Fonctions elliptiques et théorèmes de Picard
2. Partie A. Théorie de Nevanlinna
   • Langage des fibrés hermitiens; premiers et seconds théorèmes
   • Théorème de Cartan
   • Lemme d'Ahlfors
   • Lemme de Brody
3. Partie B. Géométrie diophantienne
   • Hauteurs
   • Théorème de Roth
   • Théorème de Mordell-Weil
   • Théorème de Mordell

Références

• Min Ru (2001). Nevanlinna Theory and Its Relation to Diophantine Approximation. World Scientific Publishing. ISBN 9810244029.
• William Cherry, Serge Lang (1990). Topics in Nevanlinna Theory. Springer-Verlag.
• Marc Hindry, Joseph Silverman (2000). Diophantine Geometry, an introduction. Graduate Texts in Mathematics, vol. 201. Springer-Verlag.
• Enrico Bombieri, Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry. Cambridge University Press
• S. Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag.

Enseignant

• Antoine Chambert-Loir

Horaires

Le lundi de 10h15 à 12h et de 14h à 16h, à partir du 9 janvier 2012.

Notes de cours

Cette rédaction (PDF, DjVu) est issue d'un cours que Jean-Benoît Bost avait fait à Orsay sur le même sujet ; elle est en anglais car nous escomptons en faire un livre.

Contrôle des connaissances

Il prendra la forme d'exposés de 30 minutes sur des compléments de cours qui ne pourraient être traités en séance. Il faudrait que chaque étudiant passe deux fois.

• Analyse
• La formule de Cauchy pour les cycles (sommes formelles de lacets) dans un ouvert pas forcément simplement connexe.
• Automorphismes du plan complexe, du disque unité, du demi-plan de Poincaré
• Toute fonction méromorphe sur C est quotient de deux fonctions holomorphes
• Formule d'addition pour les fonctions elliptiques
• Existence de fonctions elliptiques de diviseur prescrit
• Théorème d'uniformisation pour les ouverts simplement connexes du plan
• Théorie des nombres
• Ian Niven - Diophantine approximation, Dover. §1.2, The Theorem of Hurwitz
• Wolfgang Schmidt, Diophantine Approximations and Diophantine Equations, Springer, 2008. I. §4. Siegel's Lemma, again
• Dwork-Gerrott--Sullivan, Introduction to G-functions. Chap. 1, §4, Hensel's Lemma (théorème 4.1, corollaire 4.4) et §5, Extension of valuations (théorème 5.1)
• Don Zagier, Algebraic numbers close to both 0 and 1. Theorem 1.
• Bombieri-Gubler, Heights in Diophantine Geometry Exposer les minorations de hauteurs de points algébriques du §1.6.15, p. 28 ainsi que le théorème d'Amoroso-Dvornivich, théorème 4.4.9 (p. 113-115)
• Dobrowolski, On a question of Lehmer... Exposer la preuve du théorème 1

Antoine Chambert-Loir