Algèbre commutative

Cours de master de mathématiques (2005-06)

Programme

1. Anneaux, idéaux, algèbres. Construction d'anneaux : polynômes, quotients, localisation.
2. Idéaux. Idéaux premiers et maximaux; intersection des idéaux premiers d'un anneau (non abordé). Cas des anneaux de polynômes : le début de la correspondance entre algèbre et géométrie.
3. Modules sur un anneau. Sous-modules, quotients, produits et sommes directes, dual. Notion de suite exacte, de suite exacte scindée (non abordé). Familles libres, génératrices, bases; modules libres. Modules de type fini.
4. Modules et anneaux noethériens. Théorème de Hilbert. (non abordé)
5. Produit tensoriel de modules. Algèbre extérieure et déterminant. (L'accent sera mis sur le cas des modules libres, voire des espaces vectoriels sur un corps.)
6. Modules de type fini sur un anneau principal. Applications à l'algèbre linéaire (invariants de similitude) et à la théorie des réseaux. Aspects algorithmiques dans le cas d'un anneau euclidien.

Enseignants

• Antoine Chambert-Loir
• Antoine Ducros
• Daniel Ferrand

Horaires

• Cours (A. Chambert-Loir). Le lundi, de 8 à 10h, bât. 2A, amphi. D.
• Travaux dirigés. Ils sont assurés par A. Ducros (le lundi de 8h à 10h) et par D. Ferrand (le mardi de 16h à 18h).
  Modification d'emploi du temps : Il y aura cours lundi 12 décembre, de 15h à 17h et mercredi 14 décembre, de 9h30 à 12h. Amphi N, bâtiment 42.

Documents disponibles

• Rédaction d'un cours avec exercices au contenu similaire (Paris 6, maîtrise de mathématiques - 48 h). Version du 24 août 2005 ; format PDF et Djvu
• Rédaction du cours. Version du 27 décembre 2005 ; format PDF et Djvu
• Première feuille de travaux dirigés. Version du 19 septembre 2005 ; format PDF et Djvu
• Deuxième feuille de travaux dirigés. Version du 6 novembre 2005 ; format PDF et Djvu
• Troisième feuille de travaux dirigés. Version du 29 novembre 2005 ; format PDF et Djvu
• Sujet d'examen (corrigé) du 3 janvier 2006 ; format PDF et Djvu
• Sujet d'examen (non corrigé) du 12 juin 2006, 2^e session ; format PDF et Djvu

Modalités d'examen

Les examens ont lieu sans document, calculatrice, téléphone portable, etc.

• Contrôle continu (note C) : 2 contrôles d'1 h (chacun sur 10 points) ;
• Examen terminal (note T) : examen écrit de 2 h.

La note finale sera la plus grande des notes T et (C+T)/2.

Compte rendu des séances

• Lundi 19 septembre. Travaux dirigés, groupe 1. Exercices 1, 2 (expliciter le développement de (a+b)³ dans le cas non commutatif), 4, 6 et 7.
• Lundi 19 septembre. Cours. Chapitre 1. Anneaux, idéaux, algèbres. Définitions, exemples des anneaux de matrices et des algèbres de groupe, quaternions, théorème de Frobenius. Idéaux, quotient d'un anneau par un idéal bilatère (rapidement).
• Lundi 19 septembre. Travaux dirigés, groupe 1. Exercices 14, 16, 19, 21, 22.
• Lundi 26 septembre. Cours. Quotient d'un anneau par un idéal bilatère. Idéaux comaximaux et théorème chinois. Anneaux de polynômes.
• Mardi 27 septembre. Travaux dirigés, groupe 2. Exercices 15, 16, 31. Une K-algèbre commutative de dimension finie est un produit de corps si et seulement si elle est réduite. Exercices 22, 40.
• Lundi 3 octobre. Travaux dirigés, groupe 1. Exercice 21 (en montrant rapidement ce que vaut eAe lorsque A est un anneau de matrices et e une matrice avec un certain nombre de 1 en début de diagonale et des zéros ailleurs). Exercice 20 (question subsidiaire : «montrez qu'un espace topologique X est connexe u si et seulement si C(X,R) n'a pas d'idempotents non triviaux»). Exercices 17 (donner deux nilpotents de somme non nilpotente), 23 (NB. Si A était un anneau de matrices les résultats pourraient se déduire de l'égalité des polynômes caractéristiques de ab et ba) et 37.
• Lundi 3 octobre.Cours. Anneaux de fractions (cas d'un anneau commutatif) : construction, propriété universelle, exemples. Idéaux maximaux. Théorème de Krull (démonstration repoussée à la semaine prochaine), théorème des zéros de Hilbert (cas d'un corps non dénombrable).
• Lundi 10 octobre.Cours. Théorème de Zorn (y compris des rappels sur les ensembles ordonnés), application au théorème de Krull. Début du chapitre 2 : modules, sous-modules, homomorphismes de modules.
• Lundi 17 octobre.Cours. Suite des modules. Sommes, produits, familles libres, génératrices, bases.
• Lundi 24 octobre.Cours. Modules libres : propriété universelle. Calcul matriciel. Espaces vectoriels sur un anneau à division : existence des bases.
• Lundi 7 novembre.Cours. Équipotence des bases d'un espace vectoriel : cas de la dimension finie (démonstration par récurrence), lemme d'échange et cas général via le théorème de Zorn. Application aux cardinal des bases d'un module libre sur un anneau (non nul). Modules simples. Longueur (définition).
• Lundi 14 novembre.Cours. Longueur : définition. Relation entre longueur d'un module, et celles d'un sous-module et du quotient. Théorème de Jordan-Hölder. Produit tensoriel : construction et propriété universelle.
• Lundi 21 novembre.Cours. Complément sur le théorème de Jordan-Hölder : décomposition de Bruhat. Produit tensoriel : fonctorialité, structure de bimodule, changement de base. Cas des anneaux commutatifs.
• Lundi 28 novembre.Cours. Produit tensoriel de modules libres (sur un anneau commutatif). Produit tensoriel, dual et homomorphismes; trace. Algèbre tensorielle, symétrique et extérieure.

Antoine Chambert-Loir