Algèbre commutative

Cours de master de mathématiques (2005-06)

Programme

  1. Anneaux, idéaux, algèbres. Construction d'anneaux : polynômes, quotients, localisation.
  2. Idéaux. Idéaux premiers et maximaux; intersection des idéaux premiers d'un anneau (non abordé). Cas des anneaux de polynômes : le début de la correspondance entre algèbre et géométrie.
  3. Modules sur un anneau. Sous-modules, quotients, produits et sommes directes, dual. Notion de suite exacte, de suite exacte scindée (non abordé). Familles libres, génératrices, bases; modules libres. Modules de type fini.
  4. Modules et anneaux noethériens. Théorème de Hilbert. (non abordé)
  5. Produit tensoriel de modules. Algèbre extérieure et déterminant. (L'accent sera mis sur le cas des modules libres, voire des espaces vectoriels sur un corps.)
  6. Modules de type fini sur un anneau principal. Applications à l'algèbre linéaire (invariants de similitude) et à la théorie des réseaux. Aspects algorithmiques dans le cas d'un anneau euclidien.

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Modalités d'examen

Les examens ont lieu sans document, calculatrice, téléphone portable, etc.

La note finale sera la plus grande des notes T et (C+T)/2.

Compte rendu des séances

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