Introduction aux groupes de Lie

Cours de master 2, finalité recherche, spécialité algèbre et géométrie

Programme

• Rappels de géométrie différentielle : variétés, sous-variétés, champs de vecteurs et équations différentielles.
• Définition d'un groupe de Lie, de son algèbre de Lie. Exemples classiques.
• Sous-groupes fermés du groupe linéaire (théorème de von Neumann-Cartan).
• Représentations de groupes et d'algèbres de Lie. Cas du groupe SL(2), des groupes compacts (théorème de Peter-Weyl), « Astuce unitaire » de Weyl.
• Revêtements, groupe fondamental (rappels). Le revêtement universel d'un groupe de Lie.
• Théorème de Frobenius. La « correspondance de Lie » entre groupes de Lie connexes, simplement connexes et algèbres de Lie.

Horaires

Le lundi de 10h15 à 12h15 ; salle 316.

Examen : lundi 13 décembre, 10h15 à 12h15.

Documents disponibles

Attention aux erreurs !

• Rédaction du cours (version du 21 juin 2005, format PDF)
• Rédaction du cours de l'an dernier (version du 10 novembre 2003, format PDF)
• Examen de l'an dernier

Compte rendu des séances

• 6 septembre.
  Description d'une variété différentielle par atlas ou faisceaux  sous-variétés  morphismes. Espaces tangents (trois définitions), application linéaire tangente.
• 13 septembre.
  Champs de vecteurs, crochets, flots. Dérivée de Lie et crochet.
• 27 septembre.
  Définition d'un groupe de Lie, son algèbre de Lie. Sous-groupes à un paramètre. Exponentielle.
• 4 octobre.
  Quelques développements limités dans un groupe de Lie. Représentation adjointe (Ad, ad, lien avec le crochet de Lie). Sous-groupes fermés d'un groupe de Lie : théorème de von Neumann-Cartan.
• 11 octobre.
  Homomorphismes continus de groupes de Lie. Début de la théorie des représentations ; intermède autour du produit tensoriel.
• 18 octobre.
  Représentations semi-simples. Théorèmes du bicommutant, de Burnside. Théorème de Schur.
• 25 octobre.
  Représentations de sl(2) et représentations holomorphes de SL(2,C). Classification. Astuce unitaire de Weyl, Casimir.
• 8 novembre.
  Mesure de Haar : existence et unicité pour les groupes compacts ; exemples (groupes finis, GL_n, S¹, groupes de Lie). Existence d'un produit scalaire invariant et semi-simplicité des représentations continues d'un groupe compact à valeur dans un espace vectoriel topologique isomorphe à un Hilbert. Relations d'orthogonalité de Schur.
• 15 novembre.
  Caractères. Représentation birégulière ; énoncé du théorème de Peter-Weyl. Cas des groupes linéaires via Stone-Weierstrass. Application à la linéarité des groupes compacts.
• 22 novembre.
  Exemples : groupes finis, S¹ (séries de Fourier), quaternionss et SU(2). Opérateurs à noyau et fin de la démonstration.
• 29 novembre.
  Revêtement universel d'un groupe de Lie.
• 6 décembre.
  Feuilletages, théorème de Frobenius. Équivalence de catégories entre groupes de Lie simplement connexes et algèbres de Lie.

Antoine Chambert-Loir